【一次函数综合练习及答案】在初中数学中，一次函数是函数学习的重要基础内容之一。它不仅涉及图像的绘制、解析式的求解，还与实际问题的建模密切相关。为了帮助同学们更好地掌握一次函数的相关知识，以下是一份综合性练习题及其详细解答，适合课后巩固与复习。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 下列函数中，属于一次函数的是（ ）
A. $ y = x^2 + 1 $
B. $ y = \frac{1}{x} $
C. $ y = 3x - 5 $
D. $ y = 2x^2 $
答案：C
解析：一次函数的一般形式为 $ y = kx + b $，其中 $ k \neq 0 $。选项C符合该形式。
2. 若函数 $ y = (m-2)x + 3 $ 是一次函数，则 $ m $ 的取值范围是（ ）
A. $ m \neq 2 $
B. $ m = 2 $
C. $ m > 2 $
D. $ m < 2 $
答案：A
解析：当 $ m - 2 \neq 0 $ 即 $ m \neq 2 $ 时，该函数才是一次函数。
3. 直线 $ y = -2x + 3 $ 与 y 轴的交点坐标是（ ）
A. $ (0, 3) $
B. $ (3, 0) $
C. $ (-2, 0) $
D. $ (0, -2) $
答案：A
解析：直线与 y 轴的交点即 $ x = 0 $ 时的点，代入得 $ y = 3 $。
4. 已知一次函数的图象经过点 $ (1, 3) $ 和 $ (2, 5) $，则其解析式为（ ）
A. $ y = 2x + 1 $
B. $ y = x + 2 $
C. $ y = 3x $
D. $ y = -2x + 5 $
答案：A
解析：设解析式为 $ y = kx + b $，代入两点可得方程组：
$ 3 = k + b $
$ 5 = 2k + b $
解得 $ k = 2 $，$ b = 1 $，故解析式为 $ y = 2x + 1 $。
5. 若直线 $ y = 3x + a $ 与直线 $ y = -x + 4 $ 平行，则 $ a $ 的值为（ ）
A. 任意实数
B. 4
C. -4
D. 无法确定
答案：A
解析：两直线平行意味着斜率相同，而两直线的斜率分别为 3 和 -1，显然不相等，因此不可能平行。题目可能存在错误，若按常规理解应选“无法确定”，但若题目设定为“平行”则无解。
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 5 $ 的斜率为 ________。
答案：$ -\frac{1}{2} $
7. 函数 $ y = 4x - 3 $ 的图象与 x 轴的交点坐标是 ________。
答案：$ \left( \frac{3}{4}, 0 \right) $
8. 若直线 $ y = mx + 2 $ 经过点 $ (1, 5) $，则 $ m = $ ________。
答案：3
9. 一次函数 $ y = 2x + b $ 的图象经过点 $ (0, -1) $，则 $ b = $ ________。
答案：-1
10. 若函数 $ y = (a+1)x + 3 $ 是常数函数，则 $ a = $ ________。
答案：-1
三、解答题（每题10分，共40分）
11. 已知某一次函数的图象经过点 $ (2, 5) $ 和 $ (-1, -1) $，求该函数的解析式。
解：设解析式为 $ y = kx + b $，将点代入得：
$ 5 = 2k + b $
$ -1 = -k + b $
解得 $ k = 2 $，$ b = 1 $，所以解析式为 $ y = 2x + 1 $。
12. 某地出租车计费方式如下：起步价为 8 元，超过 3 公里后每公里加收 2 元。写出打车费用 $ y $（元）与行驶路程 $ x $（公里）之间的函数关系式，并求出行驶 5 公里时的费用。
解：当 $ x \leq 3 $ 时，$ y = 8 $；
当 $ x > 3 $ 时，$ y = 8 + 2(x - 3) = 2x + 2 $。
当 $ x = 5 $ 时，$ y = 2×5 + 2 = 12 $ 元。
13. 已知直线 $ y = 3x + b $ 与直线 $ y = -x + 4 $ 相交于点 $ (1, 3) $，求 $ b $ 的值。
解：将 $ x = 1 $，$ y = 3 $ 代入第一式得：
$ 3 = 3×1 + b $，解得 $ b = 0 $。
14. 画出函数 $ y = -x + 2 $ 的图象，并指出其与 x 轴和 y 轴的交点。
解：
- 与 y 轴交点：令 $ x = 0 $，得 $ y = 2 $，即 $ (0, 2) $。
- 与 x 轴交点：令 $ y = 0 $，得 $ x = 2 $，即 $ (2, 0) $。
图象为一条从左上向右下的直线，经过这两点。
四、拓展题（10分）
15. 某商店销售某种商品，进价为每件 10 元，售价为每件 15 元，每天可卖出 20 件。若售价每提高 1 元，销量减少 2 件。设售价为 $ x $ 元/件，求利润 $ y $ 与售价 $ x $ 的函数关系式，并求出利润最大时的售价。
解：
- 售价为 $ x $ 元，利润为 $ (x - 10) $ 元/件。
- 销量为 $ 20 - 2(x - 15) = 50 - 2x $ 件。
- 利润 $ y = (x - 10)(50 - 2x) = -2x^2 + 70x - 500 $。
- 最大利润出现在顶点处，即 $ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-70}{2×(-2)} = 17.5 $。
- 因此，当售价为 17.5 元时，利润最大。
总结：通过本练习，可以系统地掌握一次函数的基本概念、解析式的求法、图像的绘制以及实际应用问题的分析方法。希望同学们能够认真完成练习，查漏补缺，提升数学思维能力。
