【3.2函数的基本性质(单调性、最值、奇偶性)(新课改2019新版】在高中数学课程中，函数是核心内容之一，而函数的基本性质则是理解函数行为的关键。其中，单调性、最值和奇偶性是三个非常重要的概念，它们帮助我们更深入地分析函数的变化规律及其对称性特征。

一、函数的单调性

函数的单调性描述了函数在其定义域内随着自变量变化时，函数值的变化趋势。通常分为两种情况：增函数和减函数。

- 增函数：在某个区间上，若对于任意两个自变量 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) < f(x_2) $，则称该函数在该区间上是单调递增的。

- 减函数：若对于任意两个自变量 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) > f(x_2) $，则称该函数在该区间上是单调递减的。

判断函数的单调性可以通过导数来辅助分析。如果导数在某区间内恒为正，则函数在此区间上单调递增；如果导数恒为负，则函数单调递减。此外，也可以通过图像观察函数的变化趋势，从而判断其单调性。

二、函数的最值

函数的最值指的是函数在其定义域或某个区间上的最大值和最小值。最值问题在实际应用中非常常见，例如优化问题、极值求解等。

- 极大值：在某个点附近，函数值比周围点都高，称为极大值。

- 极小值：在某个点附近，函数值比周围点都低，称为极小值。

- 最大值与最小值：在整个定义域内，函数的最大值和最小值分别称为全局最大值和全局最小值。

求解最值的方法包括利用导数法寻找临界点，再结合端点值进行比较。此外，对于一些特殊函数（如二次函数），可以直接通过顶点公式或配方法找到最值。

三、函数的奇偶性

函数的奇偶性用于描述函数图像关于原点或y轴的对称性，是研究函数对称性的重要工具。

- 偶函数：满足 $ f(-x) = f(x) $ 的函数称为偶函数，其图像关于y轴对称。

- 奇函数：满足 $ f(-x) = -f(x) $ 的函数称为奇函数，其图像关于原点对称。

判断一个函数是否具有奇偶性，可以代入 $ -x $ 进行验证。需要注意的是，并不是所有函数都具有奇偶性，有些函数既不是奇函数也不是偶函数。

四、综合应用与思考

在实际学习中，掌握函数的单调性、最值和奇偶性不仅有助于理解函数的图像和性质，还能为后续学习导数、积分以及函数的应用打下坚实的基础。建议学生多做相关练习题，结合图像与代数分析，逐步提升对函数性质的理解能力。

此外，在新课改背景下，教材更加注重学生的思维训练与实际应用能力，因此在学习过程中应注重逻辑推理与问题解决能力的培养，避免单纯记忆知识点。

总结：

函数的基本性质——单调性、最值和奇偶性，是数学学习中的重要组成部分。通过深入理解这些性质，不仅可以提高解题效率，还能增强对函数整体结构的认识，为今后的学习奠定良好基础。