【范德蒙行列式的计算公式】范德蒙行列式（Vandermonde Determinant）是线性代数中一种特殊的行列式形式，广泛应用于多项式插值、组合数学以及数值分析等领域。它具有简洁而优雅的计算公式，能够快速求解特定结构的行列式。
一、范德蒙行列式的定义
范德蒙行列式是一种由一组变量 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ 构成的 $ n \times n $ 行列式，其形式如下：
$$
V =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
该行列式也常被称为“范德蒙矩阵”的行列式。
二、范德蒙行列式的计算公式
范德蒙行列式的计算公式为：
$$
V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
$$
即：所有不同变量之间的差值的乘积。
这个公式表明，当所有 $ x_i $ 互不相同时，范德蒙行列式的值为非零；若存在两个相同的 $ x_i $，则行列式为零。
三、范德蒙行列式的性质总结
| 属性 | 内容 |
| 定义形式 | $ V = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} $ |
| 计算公式 | $ V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) $ |
| 零值条件 | 当任意两个 $ x_i = x_j $ 时，行列式为0 |
| 非零条件 | 当所有 $ x_i $ 互不相等时，行列式为非零 |
| 应用领域 | 多项式插值、唯一性证明、组合数学等 |
四、举例说明
假设 $ n = 3 $，变量为 $ x_1, x_2, x_3 $，则范德蒙行列式为：
$$
V =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2
\end{vmatrix}
= (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)
$$
这验证了上述公式的正确性。
五、小结
范德蒙行列式是一个结构清晰、计算简便的特殊行列式，其核心在于变量之间差值的乘积。掌握这一公式不仅有助于理解行列式的性质，也在实际问题中具有重要应用价值。通过合理运用范德蒙行列式的计算方法，可以简化复杂计算，提升解题效率。
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