【复合函数求导公式的过程是怎么推导的】在微积分中，复合函数的求导是基本而重要的内容。它不仅广泛应用于数学分析，还在物理、工程、经济学等多个领域有着广泛应用。复合函数求导的核心思想是“链式法则”，即通过逐层分解函数结构，将复杂的导数问题转化为简单的导数运算。
一、复合函数的基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其形式为：
y = f(g(x))
其中，f 是外层函数，g 是内层函数。
例如：
y = sin(x²) 中，外层函数是 sin(u)，内层函数是 u = x²
二、复合函数求导公式的推导过程
1. 定义与变量关系
设函数 y = f(g(x))，其中 g(x) 在某点可导，f(u) 在对应点也可导。我们希望求出 y 关于 x 的导数，即 dy/dx。
2. 增量分析法（极限定义）
根据导数的定义，有：
$$
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}
$$
令 Δu = g(x + Δx) - g(x)，则当 Δx → 0 时，Δu → 0，因为 g(x) 连续且可导。
于是可以将上式改写为：
$$
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)
$$
3. 应用乘积极限法则
由于两个极限存在，我们可以分开计算：
$$
\frac{dy}{dx} = \left( \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right)
$$
这正是链式法则的表达式：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、总结与步骤归纳
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设定复合函数 | y = f(g(x))，其中 f 和 g 都可导 |
| 2 | 引入增量变量 | Δx → 0，Δu = g(x+Δx) - g(x) → 0 |
| 3 | 分解导数表达式 | dy/dx = [f(g(x+Δx)) - f(g(x))]/Δx |
| 4 | 转换为增量比 | 表达式变为 [f(g(x)+Δu) - f(g(x))]/Δu × Δu/Δx |
| 5 | 应用极限法则 | 将极限拆分为两部分，分别求导 |
| 6 | 得到链式法则 | dy/dx = f’(g(x)) × g’(x) |
四、应用示例
例题： 求函数 y = (2x + 1)^3 的导数
解法：
- 外层函数：f(u) = u³，导数为 f’(u) = 3u²
- 内层函数：u = 2x + 1，导数为 u’ = 2
应用链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2
$$
五、结语
复合函数求导公式（链式法则）是微积分中非常重要的工具，它通过将复杂函数分解为简单函数的组合，使得求导过程变得系统和高效。理解其推导过程有助于更深入地掌握微分思想，并在实际问题中灵活应用。
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