【中考二次函数经典例题】在中考数学中，二次函数是一个重要的知识点，涉及图像、性质、解析式、顶点、对称轴、交点等多个方面。掌握好二次函数的常见题型和解题思路，有助于提升考试成绩。以下是一些经典的中考二次函数例题，并附上详细的解答过程与总结。
一、经典例题1：求二次函数的解析式
题目：
已知一个二次函数的图象经过点（1，2）、（-1，6）和（0，3），求该二次函数的解析式。
解答：
设二次函数的解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $。
将三个点代入方程：
1. 当 $ x = 1 $，$ y = 2 $：
$ a(1)^2 + b(1) + c = 2 \Rightarrow a + b + c = 2 $
2. 当 $ x = -1 $，$ y = 6 $：
$ a(-1)^2 + b(-1) + c = 6 \Rightarrow a - b + c = 6 $
3. 当 $ x = 0 $，$ y = 3 $：
$ a(0)^2 + b(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3 $
将 $ c = 3 $ 代入前两个方程：
- $ a + b + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1 $
- $ a - b + 3 = 6 \Rightarrow a - b = 3 $
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a + b = -1 \\
a - b = 3
\end{cases}
$$
相加得：$ 2a = 2 \Rightarrow a = 1 $，代入得 $ b = -2 $
因此，二次函数的解析式为：
$$ y = x^2 - 2x + 3 $$
二、经典例题2：求二次函数的顶点与最值
题目：
求函数 $ y = -2x^2 + 4x + 1 $ 的顶点坐标及最大值。
解答：
二次函数的一般形式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中顶点横坐标为 $ x = -\frac{b}{2a} $。
这里 $ a = -2 $，$ b = 4 $，所以顶点横坐标为：
$$
x = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1
$$
代入原式求纵坐标：
$$
y = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3
$$
因此，顶点为 (1, 3)，由于 $ a < 0 $，抛物线开口向下，故最大值为 3。
三、经典例题3：求二次函数与坐标轴的交点
题目：
求函数 $ y = x^2 - 5x + 6 $ 与 x 轴、y 轴的交点。
解答：
与 x 轴交点：
令 $ y = 0 $，解方程：
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$
因式分解得：
$$
(x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ 或 } x = 3
$$
所以，与 x 轴交于 (2, 0) 和 (3, 0)
与 y 轴交点：
令 $ x = 0 $，得：
$$
y = 0^2 - 5 \times 0 + 6 = 6
$$
所以，与 y 轴交于 (0, 6)
四、经典例题4：利用图像分析函数性质
题目：
根据下图所示的二次函数图像，判断其解析式可能为哪一个选项？
A. $ y = x^2 + 2x + 1 $
B. $ y = -x^2 + 2x + 1 $
C. $ y = x^2 - 2x + 1 $
D. $ y = -x^2 - 2x + 1 $
解答：
观察图像可知：
- 抛物线开口向下 → $ a < 0 $
- 图像经过点 (1, 0) 和 (-1, 0) → 说明对称轴为 x = 0，即顶点在 y 轴上
- 顶点在 (0, 1)
由此可推断：
- 顶点为 (0, 1)，说明常数项为 1
- 开口向下，说明 $ a < 0 $
符合这些条件的是选项 B：
$$ y = -x^2 + 2x + 1 $$
总结表格
| 题号 | 题目类型 | 解题方法 | 关键点 | 答案示例 |
| 1 | 求解析式 | 代入点求方程组 | 三点代入法 | $ y = x^2 - 2x + 3 $ |
| 2 | 顶点与最值 | 利用顶点公式 | 开口方向、顶点坐标 | 顶点 (1, 3)，最大值 3 |
| 3 | 与坐标轴交点 | 令 y=0 和 x=0 | 因式分解、代入法 | x 轴交点 (2, 0)、(3, 0)，y 轴 (0, 6) |
| 4 | 图像分析 | 观察开口方向、对称轴、顶点位置 | 图像特征判断 | 选项 B |
通过以上经典例题的练习，可以系统地掌握二次函数的基本知识和解题技巧，为中考打下坚实基础。建议同学们多做类似题目，提高解题速度和准确率。
