【x的n次方乘ex的定积分公式】在数学分析中，计算形如 ∫xⁿeˣ dx 的定积分是一个常见问题。这类积分在概率论、物理和工程等领域中都有广泛应用。通过分部积分法或递推公式，可以得到一个简洁且通用的表达式。
以下是对“x的n次方乘e^x的定积分公式”的总结与归纳，以表格形式展示其核心内容。
一、定积分公式总结
对于函数 f(x) = xⁿeˣ，其不定积分可表示为：
$$
\int x^n e^x \, dx = e^x \left( x^n - n x^{n-1} + n(n-1)x^{n-2} - \cdots + (-1)^n n! \right) + C
$$
该公式可通过多次分部积分推导得出，也可通过递推关系进行验证。
二、定积分公式（从0到1）
若考虑从0到1的定积分，则结果为：
$$
\int_0^1 x^n e^x \, dx = e \left( \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} \right) - \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!}
$$
或者简化为：
$$
\int_0^1 x^n e^x \, dx = e \cdot \left( \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n!}{k!} \right) - \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n!}{k!}
$$
这可以进一步整理为：
$$
\int_0^1 x^n e^x \, dx = (e - 1) \cdot \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n!}{k!}
$$
三、表格展示
| n | 不定积分公式 | 定积分（0→1）公式 |
| 0 | eˣ | e - 1 |
| 1 | eˣ(x - 1) | e - 2 |
| 2 | eˣ(x² - 2x + 2) | 2e - 4 |
| 3 | eˣ(x³ - 3x² + 6x - 6) | 6e - 12 |
| 4 | eˣ(x⁴ - 4x³ + 12x² - 24x + 24) | 24e - 48 |
四、说明与应用
该公式的推导依赖于分部积分法，每次积分都会将幂次降低1，同时引入一个系数项。最终形成一个关于n的多项式表达式。
此公式在实际计算中非常有用，尤其是在需要数值积分或符号计算时，可以直接代入n的值进行快速求解。
此外，该公式也可用于近似计算，例如在蒙特卡洛方法中作为积分基准。
五、结语
通过对“x的n次方乘e^x的定积分公式”的系统分析，我们不仅得到了通用的表达式，还通过表格形式清晰地展示了不同n值下的具体结果。这些公式在数学建模和科学计算中具有重要的实用价值。
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