【xex的积分怎么求】在微积分中，求函数 $ x e^x $ 的积分是一个常见的问题。这个积分可以通过分部积分法来解决。下面将详细说明其求解过程，并以表格形式总结关键步骤和结果。
一、积分公式
我们要求的是：
$$
\int x e^x \, dx
$$
这是一个典型的“多项式乘以指数函数”的积分形式，适合使用分部积分法（Integration by Parts）进行求解。
二、分部积分法原理
分部积分法的公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
对于 $ \int x e^x \, dx $，我们可以设：
- $ u = x $ → $ du = dx $
- $ dv = e^x dx $ → $ v = e^x $
代入公式得：
$$
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx
$$
再计算右边的积分：
$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$
所以最终结果为：
$$
\int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C
$$
可以进一步整理为：
$$
\int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C
$$
三、关键步骤总结（表格形式）
| 步骤 | 内容 |
| 1. 选择变量 | 设 $ u = x $，$ dv = e^x dx $ |
| 2. 求导与积分 | $ du = dx $，$ v = e^x $ |
| 3. 应用分部公式 | $ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx $ |
| 4. 计算简单积分 | $ \int e^x dx = e^x $ |
| 5. 最终结果 | $ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C $ 或 $ e^x(x - 1) + C $ |
四、注意事项
- 分部积分法适用于多项式与指数函数、三角函数等组合的积分。
- 在实际应用中，若无法直接看出如何拆分 $ u $ 和 $ dv $，可尝试不同的组合。
- 结果中需要加上常数 $ C $，表示不定积分的一般形式。
五、结论
通过分部积分法，我们成功地求出了 $ x e^x $ 的不定积分，其结果为：
$$
\int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C
$$
这一方法不仅适用于 $ x e^x $，也广泛应用于类似的积分问题中，是微积分学习中的重要技巧之一。
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