【arccotx的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个基本问题。对于反三角函数如 arccotx（反余切函数），其原函数并不是一个简单的表达式，但可以通过分部积分法进行推导。本文将总结 arccotx 的原函数，并以表格形式展示关键信息。
一、
arccotx 是反余切函数，定义为 cot⁻¹x。它的原函数（即 ∫ arccotx dx）可以通过分部积分法来求解。具体步骤如下：
1. 设 u = arccotx，dv = dx；
2. 则 du = -1/(1 + x²) dx，v = x；
3. 应用分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du；
4. 得到结果：x·arccotx + ∫ x/(1 + x²) dx；
5. 对 ∫ x/(1 + x²) dx 进行变量替换，令 t = 1 + x²，则 dt = 2x dx，可得 ∫ x/(1 + x²) dx = (1/2) ln
最终，arccotx 的原函数为：
$$
\int \text{arccot}x \, dx = x \cdot \text{arccot}x + \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中，C 是积分常数。
二、表格展示
| 项目 | 内容 |
| 函数名称 | arccotx（反余切函数） |
| 原函数表达式 | $ x \cdot \text{arccot}x + \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
| 积分方法 | 分部积分法 |
| 关键步骤 | 令 u = arccotx，dv = dx；计算 du 和 v，代入分部积分公式 |
| 简化项 | $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
| 注意事项 | 定义域为 $ x \in (-\infty, +\infty) $，结果包含积分常数 C |
三、结语
arccotx 的原函数虽然不直观，但通过分部积分法可以顺利求出。理解这一过程不仅有助于掌握不定积分的基本技巧，也能加深对反三角函数性质的认识。在实际应用中，这种积分常出现在物理、工程和数学建模等领域。
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