【数学期望的六个公式】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，它用于描述随机变量在长期试验中所表现的平均值。数学期望不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也广泛涉及，如金融、工程、数据分析等领域。本文将总结数学期望的六个基本公式，并通过表格形式进行归纳整理。

一、数学期望的基本定义

数学期望（Expected Value），记作 $ E(X) $，是对随机变量 $ X $ 在所有可能取值上加权平均的结果，权重为各取值发生的概率。对于离散型和连续型随机变量，其计算方式有所不同。

二、数学期望的六个基本公式

1. 离散型随机变量的数学期望公式：

$$

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)

$$

其中，$ x_i $ 是随机变量 $ X $ 的可能取值，$ P(X = x_i) $ 是对应的概率。

2. 连续型随机变量的数学期望公式：

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

$$

其中，$ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数。

3. 线性性质之一：常数的期望

$$

E(a) = a

$$

其中，$ a $ 是一个常数。

4. 线性性质之二：期望的线性性

$$

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

$$

其中，$ a $ 和 $ b $ 是常数，$ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量。

5. 期望的非负性：

如果 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $。

6. 条件期望公式：

$$

E(XA) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i A)

$$

其中，$ A $ 是一个事件，表示在事件 $ A $ 发生的前提下，随机变量 $ X $ 的期望值。

三、总结表格

四、结语

数学期望是概率论中的核心概念之一，理解其公式及其应用场景对进一步学习统计分析、风险评估等知识至关重要。掌握这六个基本公式，有助于在实际问题中快速判断并计算期望值，从而做出更科学的决策。

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