【三角函数的公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了便于理解和使用，本文对常见的三角函数公式进行了系统整理，内容包括基本定义、基本关系、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式以及积化和差与和差化积公式等。
一、基本定义
设一个角α位于直角坐标系中，其终边与单位圆交于点P(x, y)，则有以下定义：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinα = y |
| 余弦 | cosα = x |
| 正切 | tanα = y/x |
| 余切 | cotα = x/y |
| 正割 | secα = 1/x |
| 余割 | cscα = 1/y |
二、基本关系式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinα · cscα = 1 |
| cosα · secα = 1 | |
| tanα · cotα = 1 | |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα |
| cotα = cosα / sinα | |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 1 + tan²α = sec²α | |
| 1 + cot²α = csc²α |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式表达式 |
| α + 2πn | sin(α + 2πn) = sinα cos(α + 2πn) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα cos(π + α) = -cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα |
| π/2 - α | sin(π/2 - α) = cosα cos(π/2 - α) = sinα |
| π/2 + α | sin(π/2 + α) = cosα cos(π/2 + α) = -sinα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差公式 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差公式 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2α = 2 sinα cosα |
| 余弦倍角公式 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角公式 | tan2α = 2 tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角公式 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] |
七、积化和差与和差化积公式
积化和差：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα sinβ | [sin(α + β) - sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
和差化积：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
总结
三角函数的公式种类繁多，但掌握其基本关系和常用变换规律，能够大大提升解题效率和应用能力。无论是考试复习还是实际问题解决，这些公式都是不可或缺的工具。建议结合图形理解记忆，并通过练习不断加深掌握程度。
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