【微分方程例题选解】在数学的众多分支中，微分方程是一门极具应用价值的学科。它广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域，用于描述变量随时间或空间变化的规律。本文将选取几个典型的微分方程例题，进行详细的分析与解答，帮助读者更好地理解这类问题的求解思路与方法。
一、一阶线性微分方程
例题1： 求解微分方程
$$
\frac{dy}{dx} + y = e^x
$$
解法：
这是一个标准的一阶线性微分方程，其形式为：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
其中 $ P(x) = 1 $，$ Q(x) = e^x $。
我们可以使用积分因子法来求解。积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^x
$$
两边同时乘以积分因子 $ e^x $：
$$
e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^{2x}
$$
左边可化简为：
$$
\frac{d}{dx}(y e^x) = e^{2x}
$$
对两边积分：
$$
y e^x = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C
$$
最后解出 $ y $：
$$
y = \frac{1}{2} e^x + C e^{-x}
$$
二、可分离变量的微分方程
例题2： 解微分方程
$$
\frac{dy}{dx} = x y
$$
解法：
这是一个可分离变量的微分方程。将变量分离：
$$
\frac{1}{y} dy = x dx
$$
两边积分：
$$
\int \frac{1}{y} dy = \int x dx
$$
$$
\ln |y| = \frac{1}{2} x^2 + C
$$
指数化处理：
$$
|y| = e^{\frac{1}{2} x^2 + C} = C_1 e^{\frac{1}{2} x^2}
$$
去掉绝对值符号，得到通解：
$$
y = C e^{\frac{1}{2} x^2}
$$
其中 $ C $ 是任意常数。
三、齐次微分方程
例题3： 解微分方程
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}
$$
解法：
观察该方程，发现右边是一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的比值，因此可以尝试使用变量替换的方法。
令 $ y = v x $，则 $ \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} $。代入原方程得：
$$
v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + v x}{x - v x} = \frac{1 + v}{1 - v}
$$
整理得：
$$
x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v(1 - v)}{1 - v} = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}
$$
于是有：
$$
\frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx
$$
对两边积分：
左边积分：
$$
\int \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \arctan v - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) + C
$$
右边积分：
$$
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C
$$
因此，得到隐式解：
$$
\arctan v - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln |x| + C
$$
将 $ v = \frac{y}{x} $ 代回，得到最终解。
四、总结
通过上述几个例子可以看出，微分方程的求解方法多种多样，包括积分因子法、分离变量法、变量替换等。掌握这些基本方法对于理解和解决实际问题具有重要意义。希望本文能为学习微分方程的同学提供一些参考和启发。
