【数学分析期末考试试题】一、选择题（每题3分，共15分）
1. 设函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $，则在 $ x = 1 $ 处的极限为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
2. 下列函数中，在区间 $ [0,1] $ 上连续但不可导的是：
A. $ f(x) = |x| $
B. $ f(x) = x^2 $
C. $ f(x) = \sqrt{x} $
D. $ f(x) = \sin x $
3. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
4. 设 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上可积，则下列说法正确的是：
A. $ f(x) $ 必定连续
B. $ f(x) $ 必定有界
C. $ f(x) $ 必定可导
D. 以上都不对
5. 函数 $ f(x) = \ln(1 + x) $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式为：
A. $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $
B. $ x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots $
C. $ 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots $
D. $ 1 - x + \frac{x^2}{2} - \cdots $
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 设 $ f(x) = \int_0^{x^2} \sin t \, dt $，则 $ f'(x) = $ __________。
2. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在区间 $ (0,1) $ 上是否一致连续？__________。
3. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = $ __________。
4. 若 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 收敛，且 $ a_n > 0 $，则 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1 + a_n} $ 的收敛性为 __________。
5. 设 $ f(x) = \arctan x $，则其导数为 __________。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 求极限：$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right)^{\frac{1}{x}} $。
2. 计算定积分：$ \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx $。
3. 设函数 $ f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases} $，求 $ f'(0) $。
4. 判断级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} $ 的收敛性。
四、证明题（每题15分，共30分）
1. 证明：若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上连续，并且在 $ (a,b) $ 内可导，且 $ f'(x) = 0 $ 对所有 $ x \in (a,b) $ 成立，则 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上为常数函数。
2. 设 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上可积，且 $ f(x) \geq 0 $，若 $ \int_a^b f(x) \, dx = 0 $，则 $ f(x) = 0 $ 在 $ [a,b] $ 上几乎处处成立。请证明该结论。
参考答案（供教师使用）
一、选择题
1. C
2. A
3. C
4. B
5. A
二、填空题
1. $ 2x \sin(x^2) $
2. 否
3. $ \frac{1}{3} $
4. 收敛
5. $ \frac{1}{1 + x^2} $
三、计算题
1. $ e^2 $
2. $ \frac{\pi}{4} $
3. $ 0 $
4. 收敛
四、证明题
略（需根据教材内容进行详细推导）
说明： 本试卷适用于大学数学专业“数学分析”课程期末考试，题目涵盖极限、连续性、导数、积分、级数等核心知识点，难度适中，兼顾基础与综合应用能力。
