【离散数学习题解答】在学习离散数学的过程中，习题练习是巩固知识、提升逻辑思维能力的重要环节。许多学生在面对复杂的集合、关系、图论、逻辑推理等问题时，常常感到无从下手。本文将围绕几道典型的离散数学习题，进行逐步解析，并提供一些解题思路与技巧，帮助读者更好地掌握相关知识点。
一、集合与运算
题目： 设集合 $ A = \{1, 2, 3\} $，$ B = \{2, 3, 4\} $，求 $ A \cup B $ 和 $ A \cap B $。
解析：
- 并集 $ A \cup B $ 是由所有属于 $ A $ 或 $ B $ 的元素组成的集合。
- 交集 $ A \cap B $ 是由同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素组成的集合。
根据定义：
- $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} $
- $ A \cap B = \{2, 3\} $
提示： 集合的运算中，关键在于理解“或”和“且”的区别，可以通过画文氏图来辅助理解。
二、命题逻辑
题目： 判断命题 “如果今天下雨，那么我就不去公园。” 的真假情况，当今天没有下雨，但我去公园了。
解析：
这是一个典型的条件语句（即“如果 P，那么 Q”），形式为 $ P \rightarrow Q $。
根据逻辑规则，只有当 $ P $ 为真而 $ Q $ 为假时，整个命题才为假；其他情况下都为真。
在这个例子中：
- $ P $：今天下雨（假）
- $ Q $：我去公园（真）
由于 $ P $ 为假，不管 $ Q $ 是真是假，该命题都为真。
结论： 原命题为真。
提示： 条件语句在逻辑中具有“弱化”的性质，只要前提不成立，整个命题就自动成立。
三、关系与闭包
题目： 给定集合 $ A = \{a, b, c\} $，关系 $ R = \{(a,a), (b,c), (c,b)\} $，求其传递闭包。
解析：
传递闭包是指在原关系的基础上，添加最少的元素，使得关系满足传递性。
原关系 $ R $ 中有：
- $ (b,c) $ 和 $ (c,b) $，因此可以推导出 $ (b,b) $ 和 $ (c,c) $（自反性）；
- 又因为 $ (b,c) $ 和 $ (c,b) $，所以 $ (b,b) $ 和 $ (c,c) $ 应该被加入；
- 同样地，若存在 $ (a,b) $，则需考虑是否能推出其他关系，但当前没有。
因此，传递闭包应包括：
$$
R^ = \{(a,a), (b,c), (c,b), (b,b), (c,c)\}
$$
提示： 传递闭包的构造通常需要反复检查是否存在路径，可通过矩阵乘法或图遍历方法实现。
四、图论基础
题目： 一个无向图有 5 个顶点，每个顶点的度数均为 2，问这个图是否可能？
解析：
根据图论中的握手定理，所有顶点的度数之和必须是偶数。这里共有 5 个顶点，每个度数为 2，总和为 $ 5 \times 2 = 10 $，是偶数。
因此，从数学上讲，这是可能的。
然而，实际构造中，这样的图是一个由两个环组成的结构（例如一个 3-顶点环加一个 2-顶点环），但这种情况下无法形成连通图。不过题目并未要求图是否连通，因此是可以存在的。
结论： 这样的图是可能的。
提示： 图的构造问题需要结合度数序列和图的连通性等多方面因素综合判断。
结语
离散数学虽然抽象，但通过不断练习和深入思考，能够显著提升逻辑推理能力和数学素养。希望以上几道典型习题的解析，能帮助你在学习过程中少走弯路，更高效地掌握这门课程的核心内容。
