【二阶偏导数4个公式】在多元函数的微分学中，二阶偏导数是研究函数在多个变量下的变化率的重要工具。对于一个具有两个自变量的函数 $ f(x, y) $，其二阶偏导数主要包括四种形式，分别对应于对不同变量的两次求导。以下是对这四个公式的总结与归纳。
一、二阶偏导数的基本概念
二阶偏导数是指对函数进行两次偏导运算后得到的结果。根据求导顺序的不同，可以分为混合偏导数和纯偏导数。一般来说，若函数 $ f(x, y) $ 在某区域内连续可微，则混合偏导数满足Schwarz定理，即：
$$
f_{xy} = f_{yx}
$$
因此，在大多数实际应用中，混合偏导数是相等的。
二、二阶偏导数的四个基本公式
以下是二阶偏导数的四种常见形式，适用于一般函数 $ f(x, y) $：
| 公式编号 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $ f_{xx} $ | 对 x 求两次偏导数 |
| 2 | $ f_{yy} $ | 对 y 求两次偏导数 |
| 3 | $ f_{xy} $ | 先对 x 求偏导，再对 y 求偏导 |
| 4 | $ f_{yx} $ | 先对 y 求偏导，再对 x 求偏导 |
其中，第3和第4种形式为混合偏导数，根据 Schwarz 定理，通常在函数足够光滑的情况下，$ f_{xy} = f_{yx} $。
三、举例说明
以函数 $ f(x, y) = x^2y + xy^2 $ 为例：
- 第一次对 x 求偏导：
$ f_x = 2xy + y^2 $
- 再次对 x 求偏导：
$ f_{xx} = 2y $
- 第一次对 y 求偏导：
$ f_y = x^2 + 2xy $
- 再次对 y 求偏导：
$ f_{yy} = 2x $
- 混合偏导数（先 x 后 y）：
$ f_{xy} = 2x + 2y $
- 混合偏导数（先 y 后 x）：
$ f_{yx} = 2x + 2y $
由此可见，$ f_{xy} = f_{yx} $，符合 Schwarz 定理。
四、总结
二阶偏导数在多元函数分析中具有重要意义，尤其在判断极值、曲面形状、优化问题等方面有广泛应用。掌握这四个基本公式有助于更深入地理解函数的变化特性。
| 公式类型 | 代表符号 | 说明 |
| 二阶纯偏导数 | $ f_{xx}, f_{yy} $ | 对同一变量连续求偏导 |
| 二阶混合偏导数 | $ f_{xy}, f_{yx} $ | 对不同变量依次求偏导，通常相等 |
通过熟练运用这些公式，可以更高效地进行多元函数的分析与计算。
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