【等差数列等比数列公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式，广泛应用于数列求和、通项公式推导以及实际问题的建模中。为了便于理解和应用，下面对这两种数列的基本公式进行总结，并以表格形式呈现。
一、等差数列
定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_n $ 表示第 $ n $ 项，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。
前 $ n $ 项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
二、等比数列
定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$ a_n $ 表示第 $ n $ 项，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
前 $ n $ 项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
三、对比表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差（d） | $ d = a_{n} - a_{n-1} $ | 无公差，有公比 $ r $ |
| 公比（r） | 无 | $ r = \frac{a_n}{a_{n-1}} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ |
四、注意事项
- 在等比数列中，若 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时前 $ n $ 项和为 $ S_n = n \cdot a_1 $。
- 等差数列的和公式适用于任意项数的数列，而等比数列的和公式仅适用于 $ r \neq 1 $ 的情况。
- 这些公式在实际问题中常用于计算总和、预测未来值、分析增长趋势等。
通过以上总结和表格对比，可以更清晰地理解等差数列与等比数列的差异及应用场景，有助于提高解题效率和数学思维能力。
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