【常见等价代换公式】在数学分析中，特别是在求极限、微分和积分的过程中，等价代换是一种非常重要的工具。通过使用等价无穷小或等价表达式，可以简化计算过程，提高解题效率。以下是一些常见的等价代换公式，适用于高等数学中的基础部分。
一、基本等价代换公式
| 当 $ x \to 0 $ 时的等价代换 | 原函数 | 说明 |
| $ \sin x \sim x $ | $ \sin x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \sin x $ 与 $ x $ 等价 |
| $ \tan x \sim x $ | $ \tan x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \tan x $ 与 $ x $ 等价 |
| $ \arcsin x \sim x $ | $ \arcsin x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \arcsin x $ 与 $ x $ 等价 |
| $ \arctan x \sim x $ | $ \arctan x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \arctan x $ 与 $ x $ 等价 |
| $ \ln(1 + x) \sim x $ | $ \ln(1 + x) $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \ln(1 + x) $ 与 $ x $ 等价 |
| $ e^x - 1 \sim x $ | $ e^x - 1 $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ e^x - 1 $ 与 $ x $ 等价 |
| $ a^x - 1 \sim x \ln a $ | $ a^x - 1 $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ a^x - 1 $ 与 $ x \ln a $ 等价（$ a > 0 $） |
| $ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $ | $ 1 - \cos x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ 1 - \cos x $ 与 $ \frac{1}{2}x^2 $ 等价 |
| $ (1 + x)^k - 1 \sim kx $ | $ (1 + x)^k - 1 $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ (1 + x)^k - 1 $ 与 $ kx $ 等价（$ k $ 为常数） |
二、其他常见等价代换
| 当 $ x \to 0 $ 时的等价代换 | 原函数 | 说明 |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2} $ | $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \sqrt{1 + x} - 1 $ 与 $ \frac{x}{2} $ 等价 |
| $ \sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{n} $ | $ \sqrt[n]{1 + x} - 1 $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \sqrt[n]{1 + x} - 1 $ 与 $ \frac{x}{n} $ 等价（$ n $ 为正整数） |
| $ \log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a} $ | $ \log_a(1 + x) $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \log_a(1 + x) $ 与 $ \frac{x}{\ln a} $ 等价（$ a > 0, a \neq 1 $） |
三、注意事项
1. 适用范围：这些等价代换仅适用于 $ x \to 0 $ 的情况，不适用于其他极限情形。
2. 误差控制：使用等价代换时，需注意误差的大小，避免因忽略高阶无穷小而引入错误。
3. 组合使用：在复杂表达式中，可将多个等价代换组合使用，以简化运算。
四、应用举例
例如，在求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
可以利用 $ \sin x \sim x $ 得到：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
又如：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
$$
利用 $ e^x - 1 \sim x $，得：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
通过掌握这些常见的等价代换公式，能够更高效地处理极限、导数和积分等问题，是学习高等数学的重要基础之一。
