【xsinxcosx的定积分是多少】在数学中，求函数的定积分是微积分的重要内容之一。对于函数 $ x\sin x \cos x $，其积分形式较为复杂，需要结合三角恒等式和分部积分法进行计算。本文将对 $ x\sin x \cos x $ 的定积分进行详细分析，并以表格形式总结关键步骤与结果。
一、函数简化
首先，我们可以利用三角恒等式将原函数简化：
$$
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x
$$
因此，
$$
x\sin x \cos x = \frac{1}{2} x \sin 2x
$$
这样，原问题转化为求：
$$
\int x \sin 2x \, dx
$$
二、积分方法
这是一个典型的“乘积型”不定积分，适合使用分部积分法（Integration by Parts）。公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们令：
- $ u = x \Rightarrow du = dx $
- $ dv = \sin 2x \, dx \Rightarrow v = -\frac{1}{2} \cos 2x $
代入得：
$$
\int x \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx
$$
继续计算第二项：
$$
\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x
$$
因此，最终结果为：
$$
\int x \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \left( -x \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x \right) + C
$$
即：
$$
\int x \sin x \cos x \, dx = -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C
$$
三、定积分计算
若题目要求的是定积分，例如从 $ a $ 到 $ b $ 的积分，则可代入上下限：
$$
\int_a^b x \sin x \cos x \, dx = \left[ -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \right]_a^b
$$
四、关键步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 使用三角恒等式：$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $ |
| 2 | 将原函数转换为 $ \frac{1}{2} x \sin 2x $ |
| 3 | 应用分部积分法，设 $ u = x $, $ dv = \sin 2x dx $ |
| 4 | 计算得到：$ -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C $ |
| 5 | 若为定积分，代入上下限进行计算 |
五、结论
综上所述，函数 $ x\sin x \cos x $ 的不定积分是：
$$
-\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C
$$
若需计算定积分，只需将上下限代入上述表达式即可得出具体数值。
如需进一步探讨其他形式的积分或应用实例，欢迎继续提问！
