【求导公式是啥】在数学中，求导是微积分的重要组成部分，用于研究函数的变化率。掌握常见的求导公式，不仅有助于理解函数的性质，还能在实际问题中快速找到解决方案。本文将总结一些常用的求导公式，并以表格形式呈现，方便查阅和记忆。
一、基本求导公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0且a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0且a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、复合函数求导法则
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，使用链式法则进行求导：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
若 $ y = \sin(2x) $，则 $ y' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) $
三、乘积与商的求导法则
1. 乘积法则
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
2. 商法则
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
四、高阶导数简介
除了基本的一阶导数外，还可以对导数继续求导，得到二阶导数、三阶导数等。例如：
- 若 $ f(x) = x^3 $，则：
- 一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 $
- 二阶导数：$ f''(x) = 6x $
- 三阶导数：$ f'''(x) = 6 $
五、常见函数的导数总结
| 函数 | 导数 |
| $ x $ | 1 |
| $ x^2 $ | $ 2x $ |
| $ x^3 $ | $ 3x^2 $ |
| $ \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
六、小结
求导公式是学习微积分的基础内容，掌握这些公式可以帮助我们快速计算函数的变化率。无论是简单的幂函数、指数函数、对数函数，还是三角函数，都有对应的求导规则。此外，复合函数、乘积与商的求导法则也是解决复杂问题的关键工具。
建议通过多做练习题来加深对这些公式的理解和应用能力。
