【平面垂直的性质和判定】在立体几何中，平面与平面之间的关系是研究空间图形的重要内容之一。其中，“平面垂直”是一个重要的概念，它涉及到两个平面之间的夹角为90度的情况。本文将对“平面垂直的性质和判定”进行系统总结，并通过表格形式清晰展示相关内容。
一、平面垂直的定义
当两个平面相交时，如果它们所形成的二面角为直角（即90°），那么这两个平面就称为互相垂直的平面。记作：α ⊥ β。
二、平面垂直的性质
1. 若两个平面垂直，则其中一个平面内任意一条垂直于交线的直线都垂直于另一个平面。
2. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
3. 两个互相垂直的平面，其交线上的任意一点，都可以作一条直线分别垂直于两个平面。
4. 若两个平面垂直，且一个平面内的某条直线与另一平面平行，则该直线也与两平面的交线垂直。
三、平面垂直的判定方法
| 判定方法 | 描述 |
| 定义法 | 若两个平面所形成的二面角为90°，则这两个平面垂直。 |
| 线面垂直法 | 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 |
| 垂直于同一直线的两个平面 | 如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行，而不是垂直。 |
| 利用向量法 | 若两个平面的法向量互相垂直（点积为零），则这两个平面垂直。 |
四、应用举例
- 例1：已知平面α的法向量为n₁ = (1, 2, 3)，平面β的法向量为n₂ = (-2, 1, 0)，判断α与β是否垂直。
解：计算n₁·n₂ = 1×(-2) + 2×1 + 3×0 = -2 + 2 + 0 = 0，因此α ⊥ β。
- 例2：若平面α内有一条直线l，且l⊥平面β，则α ⊥ β。
五、总结
平面垂直是立体几何中的一个重要知识点，掌握其性质和判定方法对于理解空间图形结构具有重要意义。通过定义、性质、判定方法及实例分析，可以更全面地理解和运用这一概念。
表格总结：
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 两个平面相交，二面角为90°，称两平面垂直。 |
| 性质 | 包括交线垂直、法向量垂直等。 |
| 判定方法 | 定义法、线面垂直法、向量法等。 |
| 应用 | 用于判断空间图形关系、解决实际问题。 |
通过以上内容的学习和理解，能够更好地掌握平面垂直的相关知识，并在实际问题中灵活运用。
