【四元数群定义】四元数群（Quaternion Group）是数学中一个重要的有限群，属于非交换群的典型例子。它由四个元素组成，具有特定的乘法结构和运算规则。四元数群在群论、几何学和物理中有广泛应用，尤其是在描述三维旋转时。
一、总结
四元数群是一个阶为8的非交换群，记作 $ Q_8 $ 或 $ \mathbb{Q}_8 $。它的元素包括：$ \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\} $。其中，1 是单位元，-1 是其逆元，而 i、j、k 满足特殊的乘法规则，如 $ i^2 = j^2 = k^2 = -1 $，以及 $ ij = k $、$ jk = i $、$ ki = j $ 等。该群的性质包括：每个元素的阶不超过4，且中心为 $ \{1, -1\} $。
二、四元数群的基本信息表
| 项目 | 内容 |
| 群名称 | 四元数群（Quaternion Group） |
| 记号 | $ Q_8 $ 或 $ \mathbb{Q}_8 $ |
| 元素个数（阶） | 8 |
| 元素集合 | $ \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\} $ |
| 单位元 | 1 |
| 逆元 | $ 1^{-1}=1 $, $ (-1)^{-1}=-1 $, $ i^{-1}=-i $, $ j^{-1}=-j $, $ k^{-1}=-k $ |
| 运算规则 | - $ i^2 = j^2 = k^2 = -1 $ - $ ij = k $, $ jk = i $, $ ki = j $ - $ ji = -k $, $ kj = -i $, $ ik = -j $ |
| 是否交换 | 否（非交换群） |
| 中心 | $ \{1, -1\} $ |
| 每个元素的阶 | 最大为4（例如：i 的阶为4） |
三、说明
四元数群不同于循环群或阿贝尔群，因为其元素之间不满足交换律。例如，$ ij = k $ 而 $ ji = -k $，这表明乘法顺序会影响结果。此外，四元数群的结构与实数上的四元数代数密切相关，但这里仅讨论其作为群的结构。
四元数群在计算机图形学、机器人学和量子力学等领域有重要应用，尤其用于表示三维空间中的旋转操作。虽然其形式复杂，但通过明确的乘法规则，可以有效地进行计算和分析。
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