【求非齐次方程组基础解系】在解决线性代数问题时，非齐次方程组的求解是一个重要课题。与齐次方程组不同，非齐次方程组的形式为 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $，其中 $ A $ 是系数矩阵，$ \mathbf{x} $ 是未知向量，$ \mathbf{b} $ 是常数项向量（且 $ \mathbf{b} \neq 0 $）。对于这类方程组，我们通常需要找到其通解，而其中一部分是“基础解系”，另一部分是特解。
本文将对如何求非齐次方程组的基础解系进行总结，并通过表格形式清晰展示关键步骤和注意事项。
一、基础概念
| 概念 | 含义 |
| 非齐次方程组 | 形如 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $ 的方程组，其中 $ \mathbf{b} \neq 0 $ |
| 基础解系 | 齐次方程组 $ A\mathbf{x} = 0 $ 的所有解中，能表示出全部解的线性无关解向量集合 |
| 通解 | 非齐次方程组的解可以表示为一个特解加上基础解系的线性组合 |
二、求非齐次方程组基础解系的步骤
1. 判断是否存在解
- 计算增广矩阵 $ [A
- 若 $ r(A) \neq r([A
- 若 $ r(A) = r([A
2. 求齐次方程组 $ A\mathbf{x} = 0 $ 的基础解系
- 将矩阵 $ A $ 化为行简化阶梯形
- 确定主变量和自由变量
- 对自由变量赋值 1 或 0，得到基础解系
3. 求非齐次方程组的一个特解
- 令自由变量为 0，解出主变量的值，即为一个特解
4. 写出通解
- 通解 = 特解 + 基础解系的线性组合
三、示例说明
设非齐次方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\
2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 4 \\
x_1 + x_2 + 2x_3 = 3
\end{cases}
$$
1. 构造增广矩阵：
$$
| A | \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $$ 2. 化简增广矩阵： $$ \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$ 3. 确定主变量和自由变量： - 主变量：$ x_1, x_3 $ - 自由变量：$ x_2 $ 4. 求齐次方程组的基础解系： 令 $ x_2 = t $，则： - $ x_3 = -t $ - $ x_1 = -t - x_2 = -t - t = -2t $ 所以基础解系为： $$ \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\} $$ 5. 求特解： 令 $ x_2 = 0 $，得： - $ x_3 = 1 $ - $ x_1 = 2 - x_3 = 1 $ 所以特解为： $$ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ 6. 通解： $$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} $$ 四、总结表
通过上述步骤，我们可以系统地求出非齐次方程组的基础解系及其通解。理解这一过程不仅有助于掌握线性代数的核心思想，也为后续学习矩阵理论、微分方程等提供了坚实的基础。 以上就是【求非齐次方程组基础解系】相关内容，希望对您有所帮助。 免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。 |
