【平面直角坐标系中两点间的三等分点怎么求】在平面直角坐标系中，若已知两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，我们可以通过一定的数学方法求出这两点之间的三等分点。三等分点是指将线段 $ AB $ 分成三段相等的部分的两个点，分别位于靠近 $ A $ 和 $ B $ 的位置。
一、基本原理
设点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $，则线段 $ AB $ 上的三等分点可以分为两种情况：
- 第一三等分点：从 $ A $ 向 $ B $ 方向走 1/3 的距离；
- 第二三等分点：从 $ A $ 向 $ B $ 方向走 2/3 的距离。
根据向量加法和比例公式，可以计算出这两个点的坐标。
二、计算公式
对于任意一点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，并且满足 $ AP : PB = m : n $，则点 $ P $ 的坐标为：
$$
P\left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right)
$$
当三等分时，有以下两种情况：
| 分割比 | 点名称 | 公式 |
| 1:2 | 第一三等分点 | $\left( \frac{2x_1 + x_2}{3}, \frac{2y_1 + y_2}{3} \right)$ |
| 2:1 | 第二三等分点 | $\left( \frac{x_1 + 2x_2}{3}, \frac{y_1 + 2y_2}{3} \right)$ |
三、示例说明
假设点 $ A(1, 2) $，点 $ B(4, 5) $，求其三等分点。
- 第一三等分点：
$$
\left( \frac{2 \times 1 + 4}{3}, \frac{2 \times 2 + 5}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{9}{3} \right) = (2, 3)
$$
- 第二三等分点：
$$
\left( \frac{1 + 2 \times 4}{3}, \frac{2 + 2 \times 5}{3} \right) = \left( \frac{9}{3}, \frac{12}{3} \right) = (3, 4)
$$
四、总结
在平面直角坐标系中，求两点间的三等分点是一个常见的几何问题。通过比例公式可以快速得出结果。只需记住：
- 第一三等分点：$ \left( \frac{2x_1 + x_2}{3}, \frac{2y_1 + y_2}{3} \right) $
- 第二三等分点：$ \left( \frac{x_1 + 2x_2}{3}, \frac{y_1 + 2y_2}{3} \right) $
通过这种方式，可以准确地找到线段上的三等分点，适用于各种几何计算与图形绘制场景。
表格总结
| 名称 | 坐标公式 | 说明 |
| 第一三等分点 | $ \left( \frac{2x_1 + x_2}{3}, \frac{2y_1 + y_2}{3} \right) $ | 从 A 到 B 的 1/3 处 |
| 第二三等分点 | $ \left( \frac{x_1 + 2x_2}{3}, \frac{y_1 + 2y_2}{3} \right) $ | 从 A 到 B 的 2/3 处 |
通过上述方法，可以系统性地理解和应用三等分点的计算方式，提升几何分析能力。
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