【第一届华罗庚金杯赛复赛试题及答案】在众多数学竞赛中，华罗庚金杯赛以其严谨的题目设计和对逻辑思维能力的高要求而备受关注。作为国内青少年数学竞赛的重要赛事之一，它不仅为学生提供了展示才华的舞台，也激发了他们对数学的兴趣与热爱。
第一届华罗庚金杯赛复赛试题是这一赛事早期的重要组成部分，其题目风格注重基础与应用的结合，强调解题过程中的逻辑推理和创新思维。虽然时间久远，但这些试题至今仍具有很高的参考价值，尤其对于准备数学竞赛的学生而言，它们不仅是练习材料，更是学习数学思维方式的宝贵资源。
以下是一些典型的复赛试题及其解答思路，旨在帮助读者更好地理解题目的考查重点和解题技巧：
试题一：
一个正整数，如果它的各位数字之和能被3整除，则这个数也能被3整除。试证明这个结论。
解析：
设该正整数为 $ N = a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0 $，其中 $ a_i $ 是其第 $ i $ 位上的数字（从右往左计）。则有：
$$
N = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + \cdots + a_n \times 10^n
$$
由于 $ 10 \equiv 1 \mod 3 $，因此 $ 10^k \equiv 1 \mod 3 $ 对任意自然数 $ k $ 成立。所以：
$$
N \equiv a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n \mod 3
$$
即：$ N $ 与它的各位数字之和在模3的意义下同余。因此，若各位数字之和能被3整除，则 $ N $ 也能被3整除。
试题二：
一个长方体的长、宽、高分别为 $ a $、$ b $、$ c $，其体积为 $ V $，表面积为 $ S $。已知 $ a + b + c = 12 $，$ ab + bc + ca = 48 $，求 $ V $ 的最大值。
解析：
由已知条件可得：
$$
a + b + c = 12 \\
ab + bc + ca = 48
$$
我们可以通过引入变量来简化问题。令 $ x = a, y = b, z = c $，则：
$$
x + y + z = 12 \\
xy + yz + zx = 48
$$
根据代数公式，有：
$$
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)
$$
代入数值：
$$
12^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 \times 48 \\
144 = x^2 + y^2 + z^2 + 96 \\
x^2 + y^2 + z^2 = 48
$$
接下来，考虑体积 $ V = xyz $，我们需要在满足上述条件下求 $ V $ 的最大值。
利用对称性假设 $ a = b = c $，则：
$$
3a = 12 \Rightarrow a = 4 \\
ab + bc + ca = 3a^2 = 48 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4
$$
此时体积为：
$$
V = 4 \times 4 \times 4 = 64
$$
进一步分析可知，在给定条件下，当 $ a = b = c = 4 $ 时，体积达到最大值 64。
试题三：
甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米。相遇后，甲继续前进，乙则返回原地。问：甲到达 B 地时，乙是否已经回到 A 地？
解析：
设 A、B 两地相距 $ S $ 千米。
设两人相遇时间为 $ t $ 小时，那么：
$$
5t + 4t = S \Rightarrow 9t = S \Rightarrow t = \frac{S}{9}
$$
相遇后，甲还需走的距离为 $ S - 5t = S - 5 \times \frac{S}{9} = \frac{4S}{9} $，所需时间为：
$$
\frac{4S}{9} \div 5 = \frac{4S}{45}
$$
而乙在相遇后需要返回 A 地，需走 $ S - 4t = S - 4 \times \frac{S}{9} = \frac{5S}{9} $，所需时间为：
$$
\frac{5S}{9} \div 4 = \frac{5S}{36}
$$
比较两者时间：
- 甲到达 B 地的时间为 $ t + \frac{4S}{45} = \frac{S}{9} + \frac{4S}{45} = \frac{5S + 4S}{45} = \frac{9S}{45} = \frac{S}{5} $
- 乙返回 A 地的时间为 $ t + \frac{5S}{36} = \frac{S}{9} + \frac{5S}{36} = \frac{4S + 5S}{36} = \frac{9S}{36} = \frac{S}{4} $
显然，$ \frac{S}{5} < \frac{S}{4} $，因此甲先到达 B 地，乙尚未回到 A 地。
结语：
第一届华罗庚金杯赛复赛试题虽然年代较久，但其内容依然富有挑战性，体现了数学思维的深度与广度。通过对这些题目的研究与分析，不仅可以提升解题能力，还能加深对数学本质的理解。希望本文能够为热爱数学的同学们提供一些启发与帮助。
