【《概率论与数理统计》期末考试试题及解答】一、选择题（每题3分，共15分）
1. 设事件A与B互不相容，则以下说法正确的是：
A. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
B. P(A ∩ B) = 1
C. P(A | B) = P(A)
D. P(A) + P(B) = 1
2. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X)和D(X)分别为：
A. λ, 0
B. λ, λ
C. λ², λ
D. λ, λ²
3. 设X ~ N(0, 1)，则P(X > 1.96)约为：
A. 0.025
B. 0.05
C. 0.01
D. 0.1
4. 设总体X服从正态分布N(μ, σ²)，从该总体中抽取样本X₁, X₂, ..., Xₙ，则样本均值的分布是：
A. N(μ, σ²)
B. N(μ, σ²/n)
C. N(μ, nσ²)
D. N(0, 1)
5. 在假设检验中，若原假设H₀为真，但被拒绝的概率称为：
A. 显著性水平α
B. 犯第二类错误的概率β
C. 检验功效
D. 犯第一类错误的概率
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 设随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X ≤ a) = ______。
2. 若X ~ N(μ, σ²)，则标准化后的变量Z = ______。
3. 设X与Y独立，且E(X) = 2，E(Y) = 3，则E(2X + Y) = ______。
4. 设X服从参数为p的二项分布B(n, p)，则方差D(X) = ______。
5. 假设检验中，若拒绝H₀时犯错误的概率为α，则接受H₀时犯错误的概率为 ______。
三、计算题（共55分）
1. （10分）设某工厂生产的产品次品率为0.05，现从中随机抽取10件产品，求恰好有2件次品的概率。
2. （10分）设随机变量X的概率密度函数为：
f(x) =
{
0.5x,0 ≤ x ≤ 2
0, 其他
}
求：（1）P(1 < X < 2)；（2）E(X)。
3. （15分）设总体X服从均匀分布U(0, θ)，其中θ > 0未知。从该总体中抽取一个容量为n的简单随机样本X₁, X₂, ..., Xₙ，求θ的矩估计量和最大似然估计量。
4. （10分）某品牌电池的寿命服从正态分布N(μ, 100)，现从一批电池中随机抽取16个进行测试，测得平均寿命为150小时。试在显著性水平α=0.05下，检验该批电池的平均寿命是否为160小时。
5. （10分）设X₁, X₂, ..., Xₙ为来自正态总体N(μ, σ²)的一个样本，试证明样本方差S² = (1/(n-1))Σ(Xᵢ - X̄)² 是σ²的无偏估计量。
四、解答题（共20分）
1. （10分）设随机变量X与Y相互独立，且X ~ N(0, 1)，Y ~ N(1, 4)，求随机变量Z = X + Y的分布，并计算P(Z > 2)。
2. （10分）设某学校数学系学生在一次考试中的成绩服从正态分布，已知总体标准差σ = 10。现从该系中随机抽取25名学生，测得平均成绩为80分。试以95%的置信度构造该系学生平均成绩的置信区间。
参考答案
一、选择题
1. A
2. B
3. A
4. B
5. D
二、填空题
1. F(a)
2. (X - μ)/σ
3. 7
4. np(1-p)
5. 1 - α
三、计算题
1. P = C(10,2) × (0.05)² × (0.95)^8 ≈ 0.0746
2. （1）P(1 < X < 2) = ∫₁² 0.5x dx = 0.75
（2）E(X) = ∫₀² x × 0.5x dx = 4/3
3. 矩估计量：θ = 2X̄
最大似然估计量：θ = max{X₁, X₂, ..., Xₙ}
4. Z = (150 - 160)/(10/√16) = -4
P(Z < -4) < 0.05，拒绝H₀
5. 证明略，可通过期望计算得出E(S²) = σ²
四、解答题
1. Z ~ N(1, 5)，P(Z > 2) = P(Z > (2 - 1)/√5) = P(Z > 0.447) ≈ 0.327
2. 置信区间为：80 ± 1.96 × (10/√25) = [76.08, 83.92]
