【正切函数的图像与性质教案】一、教学目标：

1. 理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等基本性质。

2. 掌握正切函数的图像特征，能够绘制正切函数的简图。

3. 能够根据正切函数的性质解决相关问题，提升学生的数学思维能力。

二、教学重点与难点：

- 重点：正切函数的图像特征及基本性质。

- 难点：理解正切函数的渐近线和周期性之间的关系。

三、教学过程：

1. 导入新课（5分钟）

通过复习三角函数中的正弦、余弦函数，引出正切函数的概念。教师提问：“在直角三角形中，正切函数是如何定义的？它和正弦、余弦有什么不同？”引导学生回顾旧知识，并引入本节课的主题。

2. 讲解正切函数的定义（10分钟）

- 正切函数的定义：对于任意实数x（x ≠ kπ + π/2，k ∈ Z），tan x = sin x / cos x。

- 定义域：x ≠ kπ + π/2，即x ≠ π/2 + kπ（k为整数）。

- 值域：全体实数R。

教师通过板书展示定义，并结合单位圆进行解释，帮助学生直观理解正切函数的定义域和值域。

3. 探究正切函数的性质（15分钟）

- 周期性：正切函数是周期函数，最小正周期为π。

- 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan x。

- 单调性：在每一个定义区间内（如(-π/2, π/2)），正切函数是单调递增的。

- 渐近线：当x趋近于π/2时，tan x趋向于正无穷或负无穷，因此x = π/2 + kπ是正切函数的垂直渐近线。

教师通过列表对比正弦、余弦与正切函数的性质，帮助学生建立清晰的知识结构。

4. 绘制正切函数的图像（15分钟）

- 教师引导学生利用正切函数的性质，在坐标系中逐步描点画图。

- 强调图像的周期性和渐近线的位置。

- 学生分组讨论并尝试绘制正切函数的一个周期图像，教师巡视指导。

5. 应用练习（10分钟）

- 给出几个关于正切函数的问题，例如：

- 求函数y = tan(2x)的周期；

- 求函数y = tan(x - π/4)的定义域；

- 判断函数y = tan(x)的奇偶性。

- 学生独立完成练习后，教师进行点评与讲解。

6. 课堂小结（5分钟）

- 教师带领学生回顾本节课所学内容，强调正切函数的定义、性质及图像特征。

- 提醒学生注意正切函数的定义域和渐近线的识别方法。

7. 布置作业（5分钟）

- 完成教材中相关习题；

- 自主查阅资料，了解正切函数在实际生活中的应用实例。

四、教学反思：

本节课通过由浅入深的教学设计，使学生逐步掌握正切函数的基本概念和性质。在图像绘制环节，学生参与度较高，能够积极动手操作。但在理解正切函数的周期性和渐近线时，部分学生仍存在一定的困难，需在后续教学中加强引导和巩固。

五、板书设计：

```

正切函数的图像与性质

1. 定义：tan x = sin x / cos x

2. 定义域：x ≠ π/2 + kπ (k ∈ Z)

3. 值域：R

4. 周期：π

5. 奇偶性：奇函数

6. 单调性：在每个区间内单调递增

7. 渐近线：x = π/2 + kπ

8. 图像特点：周期性、渐近线、无最大值与最小值

```

六、教学资源：

- 多媒体课件、几何画板、教材、练习题等。

备注：本教案旨在帮助教师系统地开展“正切函数的图像与性质”教学活动，内容贴近课程标准，注重基础知识与实践能力的结合，适合高中阶段数学教学使用。