【初三上册数学第一单元测试题及答案】在初中阶段的数学学习中，第一单元通常涵盖了二次函数、一元二次方程以及相关的应用问题。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面提供一份初三上册数学第一单元测试题及答案，供学生练习与复习使用。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. $ y = 2x + 1 $
B. $ y = x^2 - 3x + 2 $
C. $ y = \frac{1}{x} $
D. $ y = 3 $
2. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解为（ ）
A. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
B. $ x = 1 $ 或 $ x = 6 $
C. $ x = -2 $ 或 $ x = -3 $
D. 无实数解
3. 把方程 $ x^2 - 4x = 5 $ 化为标准形式，应为（ ）
A. $ x^2 - 4x - 5 = 0 $
B. $ x^2 - 4x + 5 = 0 $
C. $ x^2 + 4x - 5 = 0 $
D. $ x^2 + 4x + 5 = 0 $
4. 若二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象开口向上，则 $ a $ 的取值范围是（ ）
A. $ a > 0 $
B. $ a < 0 $
C. $ a = 0 $
D. 无法确定
5. 一元二次方程 $ 2x^2 + 3x - 2 = 0 $ 的判别式为（ ）
A. 17
B. 25
C. 13
D. 9
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 方程 $ x^2 - 9 = 0 $ 的解为 ________。
2. 二次函数 $ y = (x - 2)^2 + 3 $ 的顶点坐标是 ________。
3. 若 $ x = 1 $ 是方程 $ x^2 + kx - 2 = 0 $ 的一个根，则 $ k = $ ________。
4. 方程 $ 3x^2 - 6x = 0 $ 的解为 ________。
5. 一元二次方程 $ x^2 - 4x + 4 = 0 $ 的根的情况是 ________（填“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）。
三、解答题（共25分）
1. 解方程：$ x^2 - 6x + 8 = 0 $（5分）
2. 将方程 $ 2x^2 - 4x = 3 $ 化为标准形式，并求出其判别式。（5分）
3. 已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $，求其顶点坐标和对称轴。（5分）
4. 某商场销售一种商品，进价为每件50元，售价为每件80元，每天可卖出20件。若每降价1元，日销量增加2件。设降价 $ x $ 元，求利润最大时的售价。（10分）
四、附加题（10分）
已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像经过点 $ (1, 2) $、$ (2, 5) $ 和 $ (-1, 0) $，求该函数的解析式。
参考答案
一、选择题
1. B
2. A
3. A
4. A
5. A
二、填空题
1. $ x = 3 $ 或 $ x = -3 $
2. $ (2, 3) $
3. $ k = -1 $
4. $ x = 0 $ 或 $ x = 2 $
5. 有两个相等的实数根
三、解答题
1. 解：$ x^2 - 6x + 8 = 0 $
$ (x - 2)(x - 4) = 0 $
所以 $ x = 2 $ 或 $ x = 4 $
2. 解：将方程化为标准形式：
$ 2x^2 - 4x - 3 = 0 $
判别式 $ D = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 16 + 24 = 40 $
3. 解：
$ y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1 $
顶点坐标为 $ (2, -1) $，对称轴为 $ x = 2 $
4. 解：
售价为 $ 80 - x $，销量为 $ 20 + 2x $
利润 $ P = (80 - x - 50)(20 + 2x) = (30 - x)(20 + 2x) $
展开得：
$ P = -2x^2 + 40x + 600 $
当 $ x = 10 $ 时，利润最大，此时售价为 $ 80 - 10 = 70 $ 元。
四、附加题
由三点代入得：
- $ a + b + c = 2 $
- $ 4a + 2b + c = 5 $
- $ a - b + c = 0 $
解得：$ a = 1 $，$ b = 1 $，$ c = 0 $
所以解析式为：$ y = x^2 + x $
通过这份测试题，可以帮助学生系统地复习第一单元的知识点，提升解题能力。建议在考试前多加练习，巩固基础知识。
