一、教学目标
1. 知识与技能：理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够运用韦达定理解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、归纳、推理，培养学生分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学规律的兴趣，增强逻辑思维能力和合作学习意识。
二、教学重点与难点
- 重点：一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）的理解与应用。
- 难点：灵活运用根与系数的关系进行代数变形与求解。
三、教学准备
- 教材：初中数学第四册
- 教具：多媒体课件、练习题卡、黑板、粉笔等
- 学生准备：复习一元二次方程的一般形式及求根公式
四、教学过程
（一）情境导入
教师提问：
“已知一个一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，如果已知它的两个根是 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，那么我们能不能不用求根公式，直接通过系数 $ a, b, c $ 来找出这两个根的和与积呢？”
引导学生思考，并引出课题：“今天我们就来学习一元二次方程根与系数之间的关系。”
（二）新知探究
1. 回顾求根公式
一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
2. 推导根与系数的关系
设方程的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则根据求根公式可得：
$$
x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}
$$
$$
x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)
$$
$$
= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}
$$
3. 总结韦达定理
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（其中 $ a \neq 0 $），其两根 $ x_1 $、$ x_2 $ 满足：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$
（三）例题讲解
例题1：已知方程 $ 2x^2 - 5x + 3 = 0 $，求其两根的和与积。
解：
根据韦达定理：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}
$$
例题2：若方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 $ 3 $ 和 $ -2 $，求 $ p $ 和 $ q $ 的值。
解：
由韦达定理得：
$$
3 + (-2) = -p \Rightarrow p = -1
$$
$$
3 \times (-2) = q \Rightarrow q = -6
$$
（四）课堂练习
1. 已知方程 $ 3x^2 - 6x + 2 = 0 $，求其两根之和与积。
2. 若方程 $ x^2 + mx + n = 0 $ 的两根为 $ -1 $ 和 $ 4 $，求 $ m $ 和 $ n $。
3. 已知方程 $ 2x^2 + bx + 8 = 0 $ 的两根之和为 $ -4 $，求 $ b $ 的值。
（五）小结与作业布置
- 小结：今天我们学习了一元二次方程根与系数之间的关系，掌握了韦达定理的应用。通过这一规律，我们可以快速求出根的和与积，而不必直接解方程。
- 作业：完成教材第XX页习题1~5题，并预习下一节内容。
五、教学反思（教师备课用）
本节课通过引导学生从已知的求根公式出发，逐步推导出根与系数之间的关系，增强了学生的逻辑推理能力。在例题讲解中注重了不同题型的训练，帮助学生巩固知识点。同时，在课堂练习中安排了不同难度的题目，兼顾了不同层次的学生需求。
备注：本教案结合教材内容与教学实际设计，旨在提升学生对一元二次方程根与系数关系的理解与应用能力。
