随着学期的接近尾声，九年级的学生们即将迎来本学期最重要的考试之一——数学期末考试。为了帮助同学们更好地复习和准备，以下是一份根据北师大版教材编写的九年级上册数学期末考试试卷，附有详细答案，供学生参考使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 5 $
B. $ x^2 - 3x + 2 = 0 $
C. $ 2x + y = 7 $
D. $ x^3 - 4x = 0 $
2. 已知点A(2,3)，点B(-1,4)，则线段AB的长度为（ ）
A. $ \sqrt{10} $
B. $ \sqrt{11} $
C. $ \sqrt{12} $
D. $ \sqrt{13} $
3. 若反比例函数的图象经过点(2, -3)，则其解析式为（ ）
A. $ y = \frac{6}{x} $
B. $ y = -\frac{6}{x} $
C. $ y = \frac{-3}{x} $
D. $ y = \frac{2}{x} $
4. 在△ABC中，若∠C=90°，且AC=6，BC=8，则AB的长度是（ ）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
5. 已知一个圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为3cm，则直线l与该圆的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不确定
6. 抛物线 $ y = -2x^2 + 4x - 1 $ 的顶点坐标是（ ）
A. (1, 1)
B. (1, -1)
C. (2, 3)
D. (2, -3)
7. 若 $ \sin \theta = \frac{3}{5} $，且θ为锐角，则 $ \cos \theta $ 的值为（ ）
A. $ \frac{4}{5} $
B. $ \frac{3}{4} $
C. $ \frac{5}{4} $
D. $ \frac{4}{3} $
8. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 有一个角是直角的四边形是矩形
9. 若关于x的一元二次方程 $ x^2 - 2x + m = 0 $ 有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 已知扇形的圆心角为60°，半径为6cm，则该扇形的面积为（ ）
A. $ 6\pi $ cm²
B. $ 12\pi $ cm²
C. $ 18\pi $ cm²
D. $ 24\pi $ cm²
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解为 ________。
12. 在平面直角坐标系中，点P(-3,4)关于原点对称的点的坐标是 ________。
13. 若 $ \tan \theta = \frac{1}{2} $，则 $ \sin \theta = $ ________。
14. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象开口向下，且顶点在第二象限，则a的取值范围是 ________。
15. 圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则其侧面积为 ________ cm²。
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则sinA = ________。
三、解答题（共52分）
17. （8分）解方程：$ x^2 - 4x + 3 = 0 $
18. （8分）已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点(1, 3)和(2, 5)，求k和b的值，并写出该函数的表达式。
19. （10分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，连接DE。
（1）求证：DE ∥ BC；
（2）若BC = 8cm，求DE的长度。
20. （10分）某商场销售一种商品，成本价为每件80元，售价为每件120元，每月可售出100件。若每降价1元，销量增加5件。问：当售价定为多少时，利润最大？最大利润是多少？
21. （16分）已知抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 经过点A(1, 0)和B(-2, 3)，
（1）求b和c的值；
（2）求该抛物线的顶点坐标；
（3）求该抛物线与x轴的交点坐标；
（4）画出该抛物线的大致图像。
参考答案：
一、选择题
1. B
2. D
3. B
4. A
5. A
6. A
7. A
8. C
9. A
10. A
二、填空题
11. x=1或x=3
12. (3, -4)
13. $ \frac{\sqrt{5}}{5} $
14. a < 0
15. $ 15\pi $
16. $ \frac{3}{5} $
三、解答题
17. 解得：x₁=1，x₂=3
18. k=2，b=1，函数表达式为 $ y = 2x + 1 $
19. （1）证明略；（2）DE = 4cm
20. 售价定为100元时，利润最大，最大利润为2000元
21. （1）b=-1，c=-2；（2）顶点坐标为 $ (\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}) $；（3）交点为(2, 0)和(-1, 0)；（4）略
通过这份试卷的练习，可以帮助学生全面掌握北师大版九年级上册数学的知识要点，提升解题能力，为即将到来的期末考试做好充分准备。
