在数学学习中，分式的概念和其基本性质是代数运算中的重要部分。分式是由两个整式相除得到的形式，其中分母不能为零。为了帮助大家更好地理解和掌握这一知识点，下面我们将通过一系列习题来巩固分式及其基本性质的相关知识。

习题一：判断分式是否成立

请判断以下表达式是否为分式，并说明理由：

1. $\frac{3x + 5}{2y - 7}$

2. $\frac{x^2 + 4}{0}$

解答：

1. $\frac{3x + 5}{2y - 7}$ 是一个分式，因为它的分子和分母都是整式，并且分母 $2y - 7$ 不等于零。

2. $\frac{x^2 + 4}{0}$ 不是一个分式，因为分母为零，这不符合分式的定义。

习题二：分式的基本性质应用

利用分式的基本性质，将以下分式化简：

$$\frac{6x^2y}{9xy^2}$$

解答：

根据分式的基本性质，我们可以将分子和分母同时除以它们的最大公约数 $3xy$：

$$\frac{6x^2y}{9xy^2} = \frac{2x}{3y}$$

习题三：分式的等价变形

已知分式 $\frac{a + b}{c}$，若 $a = 2b$，请将其变形为只含 $b$ 和 $c$ 的形式。

解答：

将 $a = 2b$ 代入原分式：

$$\frac{a + b}{c} = \frac{2b + b}{c} = \frac{3b}{c}$$

习题四：分式的加减法

计算以下分式的和：

$$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$$

解答：

首先找到公分母 $(x + 1)(x - 1)$，然后进行通分：

$$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 1 + 2x + 2}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{3x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$$

通过以上习题的练习，希望大家能够更加熟练地掌握分式及其基本性质的应用。分式的化简和运算在解决实际问题时非常重要，因此需要不断练习以提高解题能力。