三角函数是数学中一个非常重要的分支，它在几何学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面提供了一些基础且具有代表性的练习题，并附上了详细的解答过程。
练习题
1. 已知角α的终边经过点P(3, 4)，求sinα、cosα和tanα的值。
2. 若sinθ = 1/2，且θ位于第二象限，求cosθ和tanθ的值。
3. 求解方程2sin²x - cosx - 1 = 0在[0, 2π]范围内的所有解。
4. 设f(x) = sin(x + π/4)，求f(-π/4)的值。
5. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，求∠A的正弦值。
答案解析
1. 根据已知条件，点P到原点的距离r = √(3²+4²) = 5。因此，
\[
\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}.
\]
2. 因为sinθ = 1/2且θ位于第二象限，则cosθ<0。利用三角恒等式\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)，可得
\[
\cos\theta = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
所以，
\[
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
\]
3. 将方程化简为关于cosx的形式：
\[
2(1-\cos^2x)-\cos x-1=0 \implies 2\cos^2x+\cos x-1=0.
\]
解此二次方程得到\(\cos x = \frac{1}{2}\)或\(\cos x = -1\)。分别对应于\(x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\)或\(x = \pi\)。
4. 直接代入函数表达式计算：
\[
f(-\pi/4) = \sin(-\pi/4 + \pi/4) = \sin(0) = 0.
\]
5. 利用勾股定理求出BC的长度为8，然后根据定义得出：
\[
\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = 0.8.
\]
以上就是这些练习题及其详细解答。希望这些题目能够帮助你巩固对三角函数的理解。如果有任何疑问，欢迎随时提问！
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