在物理学中，折射定律是描述光线从一种介质进入另一种介质时传播方向变化的基本规律。这一规律不仅在理论研究中有重要意义，也在实际应用中广泛存在，比如光学仪器的设计与制造。本文将通过两种不同的方法来证明折射定律，分别是费马原理证明和几何法证明。

一、费马原理证明

费马原理指出，光在两点之间传播的实际路径是所需时间最短的路径。根据这一原理，我们可以推导出折射定律。

假设光线从空气（折射率为n₁）进入玻璃（折射率为n₂），并且入射角为θ₁，折射角为θ₂。根据费马原理，光线从空气到玻璃的时间最短。设光源到空气-玻璃界面的距离为d₁，界面到观察点的距离为d₂，则总时间为：

\[ T = \frac{d₁}{v₁} + \frac{d₂}{v₂} \]

其中，\( v₁ = c/n₁ \) 和 \( v₂ = c/n₂ \) 分别为空气和玻璃中的光速。通过数学分析可以得出：

\[ n₁ \sin θ₁ = n₂ \sin θ₂ \]

这就是著名的折射定律，即斯涅尔定律。

二、几何法证明

几何法证明基于几何图形和三角函数的关系。同样考虑光线从空气进入玻璃的情况，我们可以通过绘制光路图并利用几何关系进行推导。

在光路图中，设入射点为O，入射光线与界面交于A点，折射光线与界面交于B点。连接OA和OB形成一个直角三角形。根据三角函数定义，有：

\[ \sin θ₁ = \frac{h₁}{OA} \]

\[ \sin θ₂ = \frac{h₂}{OB} \]

由于光线在界面处满足能量守恒原则，因此可以得出：

\[ n₁ \sin θ₁ = n₂ \sin θ₂ \]

这再次验证了折射定律。

通过这两种方法的证明，我们可以更深入地理解折射定律的本质及其背后的物理意义。无论是从时间最小化角度出发的费马原理，还是基于几何图形分析的几何法，都为我们提供了全面的认识工具。这些方法不仅帮助我们更好地掌握光学知识，也为解决相关问题提供了有力的支持。