在数学与运筹学领域中，线性规划是一种重要的优化工具，广泛应用于经济管理、工程设计及生产调度等领域。通过构建目标函数和约束条件，线性规划能够帮助我们找到资源分配的最佳方案。以下是六个经典且实用的线性规划例题，旨在展示其应用范围与解题技巧。

例题一：产品生产计划问题

某工厂生产A、B两种产品，每件产品的利润分别为5元和8元。已知生产一件A产品需要3小时人工和4单位材料，生产一件B产品则需5小时人工和6单位材料。工厂每天可用的人工时间为240小时，材料总量为300单位。问如何安排生产才能使工厂获得最大利润？

解法：设x₁为A产品的产量，x₂为B产品的产量，则目标函数为Z=5x₁+8x₂。约束条件包括人工时间和材料限制，即3x₁+5x₂≤240（人工时间），4x₁+6x₂≤300（材料）。利用单纯形法求解可得最优解。

例题二：投资组合选择

投资者有10万元资金用于投资股票X和债券Y。股票X的风险系数为1.2，预期收益率为10%；债券Y的风险系数为0.8，预期收益率为6%。为了平衡风险与收益，投资者希望总风险不超过9，并期望至少获得7%的整体收益率。试确定最优的投资比例。

解法：设x₁为投资于股票的资金比例，x₂为投资于债券的比例。目标函数表示为Z=0.1x₁+0.06x₂，同时满足约束条件1.2x₁+0.8x₂≤9（风险控制）以及0.1x₁+0.06x₂≥0.07（收益要求）。通过调整变量值找到满足所有条件的最大收益点。

例题三：运输成本最小化

一家公司在全国范围内设有三个仓库，分别位于北京、上海和广州，向四个城市（成都、武汉、长沙、南京）供应货物。各仓库到目的地的运输费用如表所示。如果每个城市的月需求量固定，请问如何安排运输路线以降低总运费？

| | 成都 | 武汉 | 长沙 | 南京 |

|---|------|------|------|------|

| 北京 | 10 | 15 | 20 | 25 |

| 上海 | 20 | 10 | 15 | 20 |

| 广州 | 25 | 20 | 10 | 15 |

解法：定义决策变量表示从各仓库发往不同城市的货量，建立相应的线性方程组来描述供需平衡关系，并设定最小化总运输费为目标函数进行求解。

例题四：人力资源调配

某企业需完成四项任务，每项任务所需工时不同。现有四名员工，每人完成各项任务所需时间如表所示。企业希望尽量减少总的用工时间，请问应如何分配任务给每位员工？

| 员工 | 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 |

|------|-------|-------|-------|-------|

| A| 5 | 8 | 7 | 6 |

| B| 7 | 6 | 9 | 5 |

| C| 8 | 7 | 6 | 9 |

| D| 6 | 9 | 5 | 7 |

解法：采用匈牙利算法或其他相关方法，将此问题转化为指派问题后求解。

以上仅是部分典型例子，实际应用中还有更多复杂情况等待解决。掌握线性规划的基本原理及其灵活运用对于提高工作效率至关重要。