在2012年的全国高中数学联赛中，参赛者们面对了一系列富有挑战性的数学问题。这些题目不仅考察了学生们的数学知识，还考验了他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。以下是对部分试题的详细解析。

第一题：设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求方程f(x) = 0的所有实根。

解析：首先，我们可以尝试使用导数来分析函数f(x)的性质。计算得f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，得到x = ±1。因此，函数f(x)在x = -1和x = 1处取得极值。进一步分析可以发现，f(-1) > 0，f(1) < 0。结合三次函数的图像特征，我们得知该方程有三个实根。

第二题：已知正整数a, b满足a^2 + b^2 = 2012，求a+b的最大值。

解析：考虑到2012可以分解为2^2 503，而503是一个质数。为了使a+b最大，我们需要尽量让a和b接近。经过尝试，当a=44，b=2时，满足条件且a+b达到最大值46。

第三题：给定一个等差数列{an}，其中a1=1，公差d>0。若对于任意n≥1，都有an+1/an是整数，则d的最小可能值是多少？

解析：设an = 1 + (n-1)d。根据条件，an+1/an = [1+nd]/[1+(n-1)d]必须是整数。通过化简可得d/(1+(n-1)d)也是整数。为了使d最小，我们选择n=1，此时d/(1+d)为整数。解得d=1是最小值。

以上是对2012年全国高中数学联赛中几道典型试题的详细解析。这些问题涵盖了代数、数论等多个领域，体现了竞赛数学的魅力所在。希望对准备此类比赛的学生有所帮助。