在概率论与数理统计的研究中，随机变量的密度函数扮演着至关重要的角色。它不仅能够描述随机变量取值的概率分布特性，还为后续的理论推导和实际应用提供了坚实的数学基础。本文将围绕一个具体的例子展开讨论，通过分析随机变量X的密度函数来揭示其内在规律。

假设随机变量X的密度函数定义如下：

\[ f_X(x) = \begin{cases}

c \cdot e^{-x}, & x > 0 \\

0, & x \leq 0

\end{cases}

\]

其中，\(c\)是一个待定常数。为了使该函数成为合法的概率密度函数，必须满足两个基本条件：非负性和归一性。即对于任意实数\(x\)，有\(f_X(x) \geq 0\)，并且在整个实数域上的积分等于1。

首先验证非负性。显然，当\(x > 0\)时，指数函数\(e^{-x}\)总是正数，因此乘以常数\(c\)后仍保持非负性；而当\(x \leq 0\)时，\(f_X(x)\)恒为零，自然满足非负性条件。

接下来解决归一化问题。根据概率密度函数的归一化性质，我们有：

\[

\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) dx = 1

\]

代入已知表达式，得到：

\[

\int_{0}^{+\infty} c \cdot e^{-x} dx = 1

\]

计算上述积分：

\[

\lim_{b \to +\infty} \left[ -c \cdot e^{-x} \right]_0^b = \lim_{b \to +\infty} (-c \cdot e^{-b} + c \cdot e^{0}) = c

\]

由此可得，\(c=1\)。于是，随机变量X的密度函数最终确定为：

\[ f_X(x) = \begin{cases}

e^{-x}, & x > 0 \\

0, & x \leq 0

\end{cases}

\]

进一步地，我们可以利用此密度函数求解一些相关问题。例如，计算随机变量X落在区间\([a,b]\)内的概率：

\[

P(a < X \leq b) = \int_a^b f_X(x) dx = \int_a^b e^{-x} dx = \left[-e^{-x}\right]_a^b = e^{-a} - e^{-b}

\]

这表明，当\(a\)趋于无穷大时，概率趋于零，符合直观预期。

综上所述，通过对给定密度函数的分析，我们不仅验证了其合法性，还探讨了其在具体应用场景中的表现。这种深入细致的研究方法有助于加深对概率论核心概念的理解，并为解决更复杂的问题奠定坚实的基础。